\section{Ejercicio N 8}

Dado el sistema con reciclaje de la Figura:

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.6]{ejercicio08}
    \label{fig:ejercicio08}
    \caption{Sistema correspondiente al ejercicio 8}
  \end{center}
\end{figure}

Sabiendo que los clientes arriban a una velocidad promedio de 8 clientes por minuto y el canal atiende a una velocidad promedio de 10 clientes por minuto (distribución Poisson), se pide calcular:

\begin{enumerate}
  \item La cantidad promedio de clientes en la cola.
  \item El tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola.
  \item La probabilidad de que el canal no esté ocioso.
  \item La cantidad promedio de clientes en el sistema.      
\end{enumerate}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\comandoDatos
\begin{itemize}
  \item $\lambda = 8\ {clientes\over minuto} $ (distribución Poisson)
  \item$\mu = 10\ {clientes \over minuto} $ (distribución Poisson)
\end{itemize}

\comandoCalcular
\begin{itemize}
  \item $L_{c}$
  \item $W_{c}$
  \item $P(n>0)$
  \item $L$
\end{itemize}

\comandoHipotesis
\begin{enumerate}
  \item Los arribos tienen distribución Poisson
  \item La realización del servicio tienen distribución Poisson
  \item El sistema tiene un único canal de atención
  \item El sistema tiene capacidad infinita
  \item La disciplina de atención es FIFO
  \item La población es infinita
  \item Se forma una única cola frente al canal
  \item Los clientes no presentan el fenómeno de impaciencia
  \item El sistema se encuentra en condiciones estables
  \item El 10\% de los clientes luego de obtener el servicio vuelve a ingresar al sistema.
\end{enumerate}

En conclusión, es un P/P/1 con reciclaje.

\comandoResolucion

$\lambda'$: Son los clientes que realmente ingresan al sistema (nuevos + reciclados)
\\

$\overline{\mu}'$: Son los clientes que egresan del sistema (reciclados + los que salen)
\\

$\overline{\mu}_r$: Son los clientes que egresan del sistema y se reciclan

$$ \lambda' = \lambda + \mu_r = \lambda + 0.1 \mu' $$

y como es un P/P/1, tenemos:

$$\overline{\lambda}' = \overline{\lambda} = \mu'$$

entonces:

$$\lambda' = \lambda + 0.1*\lambda'$$

$$\lambda' - 0.1*\lambda' = \lambda $$

$$0.9*\lambda' = \lambda $$

$$\lambda' = \frac{\lambda}{0.9} $$

$$\lambda' = \mu' = \frac{\lambda}{0.9} = \frac{80}{9} \: \,  \frac{cliente}{minuto} $$

\begin{enumerate}[\bfseries 1)]
\item 
$$ L_c = \frac{(\lambda')^2}{\mu*(\mu-\lambda')} = \frac{(\frac{80}{9} \: \,  \frac{cliente}{minuto} )^2}{10 \: \,  \frac{cliente}{minuto} *(10 \: \,  \frac{cliente}{minuto} - \frac{80}{9} \: \,  \frac{cliente}{minuto})} $$

$$ \boxed{L_c= \frac{64}{9}  \: \,  (cliente) \approx 7,11  \: \,  (cliente) } $$

\item

$$W_c = \frac{\lambda'}{\mu(\mu - \lambda')} = \frac{\frac{80}{9}  \: \,  \frac{cliente}{minuto} }{10  \: \,  \frac{cliente}{minuto}*(10  \: \,  \frac{cliente}{minuto} - \frac{80}{9}  \: \,  \frac{cliente}{minuto})} $$

$$\boxed{W_c=\frac{4}{5} \: \,  \frac{minuto}{cliente} = 0.8 \: \,  \frac{minuto}{cliente} }$$

\item

$$P(n>0) = 1 - P(0) = 1 - (1 - \rho) = \rho = \frac{\lambda'}{\mu}=\frac{\frac{80}{9} \: \,  \frac{cliente}{minuto}}{10  \: \,  \frac{cliente}{minuto}} $$

$$\boxed{P(n>0) = \frac{8}{9} \approx 0,89 }$$

\item

$$L=\frac{\lambda'}{\mu - \lambda'} = \frac{\frac{80}{9}  \: \,  \frac{cliente}{minuto}}{10 \: \,  \frac{cliente}{minuto} - \frac{80}{9} \: \,  \frac{cliente}{minuto}}$$

$$\boxed{L = 8 \: \, (cliente)}$$


\end{enumerate}
